Metody numeryczne - Paweł Wasiak

Metoda Simpsona

Całkowanie metodą Simpsona – jedna z metod przybliżania wartości całki oznaczonej funkcji rzeczywistej.

Metoda ma zastosowanie do funkcji stablicowanych w nieparzystej liczbie równo odległych punktów (wliczając końce przedziału całkowania). Metoda opiera się na przybliżaniu funkcji całkowanej przez interpolację wielomianem drugiego stopnia.

Znając wartości $y_0,\ y_1,\ y_2$ funkcji $f(x)$ w 3 punktach $x_0,\ x_1,\ x_2$ (przy czym $x_2-x_1 = x_1-x_0 = h\;$ ), przybliża się funkcję wielomianem Lagrange'a i, całkując w przedziale $[x_0,x_2]$ , otrzymuje przybliżoną wartość całki:

$\int\limits_{x_0}^{x_2}f(x)dx\approx \frac h 3 (y_0+4y_1+y_2)$

Błąd, który przy tym popełniamy, jest równy: $R = \frac{1}{90} h^5 |f^{(4)}(c)|$ , gdzie:

$c \in [x_0; x_2]$ .

Nie znamy położenia punktu c, więc posługujemy się poniższym szacowaniem, mającym zastosowanie w obliczeniach numerycznych:

$R \leqslant \frac{1}{90} h^5 \max_{x \in [x_0; x_2]} |f^{(4)}(x)|$ .

Znając wartości funkcji w 2k+1 kolejnych, równo odległych punktach $x_0,\,x_1,\dots x_n$ (gdzie n=2k), możemy iterować powyższy wzór na kprzedziałów:

otrzymując:

$\int\limits_{x_0}^{x_n}f(x)dx=\sum_{i=1}^k \int\limits_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac h 3 \left( y_0+4\sum_{i=1}^k y_{2i-1}+2\sum_{i=1}^{k-1} y_{2i}+y_{n} \right)$ .

Wartość błędu, jakim są obarczone wyliczenia, wyraża się wzorem:

$R \leqslant \frac{1}{180} (x_n - x_0) h^4 \max_{x \in [x_0; x_n]} |f^{(4)}(x)|$ .

By czytelnik mógł go odnieść do rysunku:

$x_n = b$ ; $f(x_n) = y_n$ ,

$x_0 = a$ ; $f(x_0) = y_0$ .

Geometrycznie metoda ta odpowiada zastąpieniu w każdym z kolejnych k przedziałów zmiennej x łuku wykresu funkcji y=f(x) łukiem paraboli przeprowadzonej przez trzy kolejne węzły interpolacji (punkty wykresu o znanych współrzędnych) odpowiadające początkowi, środkowi i końcowi kolejnego przedziału.

Metody numeryczne - Paweł Wasiak

Wikipedia

czwartek, 28 listopada 2013

Metoda Simpsona

Brak komentarzy:

Prześlij komentarz