Metody numeryczne - Paweł Wasiak : listopada 2013

Metoda Simpsona

Całkowanie metodą Simpsona – jedna z metod przybliżania wartości całki oznaczonej funkcji rzeczywistej.

Metoda ma zastosowanie do funkcji stablicowanych w nieparzystej liczbie równo odległych punktów (wliczając końce przedziału całkowania). Metoda opiera się na przybliżaniu funkcji całkowanej przez interpolację wielomianem drugiego stopnia.

Znając wartości $y_0,\ y_1,\ y_2$ funkcji $f(x)$ w 3 punktach $x_0,\ x_1,\ x_2$ (przy czym $x_2-x_1 = x_1-x_0 = h\;$ ), przybliża się funkcję wielomianem Lagrange'a i, całkując w przedziale $[x_0,x_2]$ , otrzymuje przybliżoną wartość całki:

$\int\limits_{x_0}^{x_2}f(x)dx\approx \frac h 3 (y_0+4y_1+y_2)$

Błąd, który przy tym popełniamy, jest równy: $R = \frac{1}{90} h^5 |f^{(4)}(c)|$ , gdzie:

$c \in [x_0; x_2]$ .

Nie znamy położenia punktu c, więc posługujemy się poniższym szacowaniem, mającym zastosowanie w obliczeniach numerycznych:

$R \leqslant \frac{1}{90} h^5 \max_{x \in [x_0; x_2]} |f^{(4)}(x)|$ .

Znając wartości funkcji w 2k+1 kolejnych, równo odległych punktach $x_0,\,x_1,\dots x_n$ (gdzie n=2k), możemy iterować powyższy wzór na kprzedziałów:

otrzymując:

$\int\limits_{x_0}^{x_n}f(x)dx=\sum_{i=1}^k \int\limits_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac h 3 \left( y_0+4\sum_{i=1}^k y_{2i-1}+2\sum_{i=1}^{k-1} y_{2i}+y_{n} \right)$ .

Wartość błędu, jakim są obarczone wyliczenia, wyraża się wzorem:

$R \leqslant \frac{1}{180} (x_n - x_0) h^4 \max_{x \in [x_0; x_n]} |f^{(4)}(x)|$ .

By czytelnik mógł go odnieść do rysunku:

$x_n = b$ ; $f(x_n) = y_n$ ,

$x_0 = a$ ; $f(x_0) = y_0$ .

Geometrycznie metoda ta odpowiada zastąpieniu w każdym z kolejnych k przedziałów zmiennej x łuku wykresu funkcji y=f(x) łukiem paraboli przeprowadzonej przez trzy kolejne węzły interpolacji (punkty wykresu o znanych współrzędnych) odpowiadające początkowi, środkowi i końcowi kolejnego przedziału.

Aproksymacja

Aproksymacja – proces określania rozwiązań przybliżonych na podstawie rozwiązań znanych, które są bliskie rozwiązaniom dokładnym w ściśle sprecyzowanym sensie. Zazwyczaj aproksymuje się byty (np. funkcje) skomplikowane bytami prostszymi. Często stosowana w przypadku szukania rozwiązań dla danych uzyskanych metodami empirycznymi, które mogą być obarczone błędami

Zadanie najlepszej aproksymacji

Niech dana będzie przestrzeń liniową $X$ z normą $\|\cdot\|$ i niech $V \subset X$ będzie podprzestrzenią liniową $X$ skończonego wymiaru. Zadanie najlepszej aproksymacji polega na znalezieniu takiego $v^* \in V$ (elementu najlepszej aproksymacji dla danego $x \in X$ ), że zachodzi:

$\displaystyle{\forall{v \in V}}\quad\|x - v^*\| \leqslant \|x-v\|$

Należy przez to rozumieć, że element $v^*$ jest elementem "najbliższym" do aproksymowanego $x$ spośród wszystkich elementów $v \in V$ .

Zadanie najlepszej aproksymacji jest zawsze rozwiązywalne tzn. dla każdego $x \in X$ istnieje element najlepszej aproksymacji $v^*$ , ale niekoniecznie jest on jedyny. Należy zauważyć, że element najlepszej aproksymacji zależy od normy, jaka została przyjęta w przestrzeni $X$ .

Zadanie najlepszej aproksymacji w przestrzeniach unitarnych

Niech $X$ będzie przestrzenią z iloczynem skalarnym i niech norma w $X$ będzie generowana tym iloczynem: $\|x\|= \sqrt{\langle x, x \rangle}$ .

Wtedy element najlepszej aproksymacji jest jedyny i jest określony następującą tożsamością

$\forall{v \in V}\ \ \langle x-v^*, v \rangle = 0$

Aproksymacja funkcji

Aproksymacje można wykorzystać w sytuacji, gdy nie istnieje funkcja analityczna pozwalająca na wyznaczenie wartości dla dowolnego z jej argumentów, a jednocześnie wartości tej nieznanej funkcji są dla pewnego zbioru jej argumentów znane. Mogą to być na przykład wyniki badań aktywności biologicznej dla wielu konfiguracji leków. Do wyznaczenia aproksymowanej aktywności biologicznej nieznanego leku można wówczas zastosować jedną z wielu metod aproksymacyjnych.

Aproksymowanie funkcji może polegać na przybliżaniu jej za pomocą kombinacji liniowej tzw. funkcji bazowych Od funkcji aproksymującej, przybliżającej zadaną funkcję nie wymaga się, aby przechodziła ona przez jakieś konkretne punkty, tak jak to ma miejsce w interpolacji. Z matematycznego punktu widzenia aproksymacja funkcji $f$ w pewnej przestrzeni Hilberta $H$ jest zagadnieniem polegającym na odnalezieniu pewnej funkcji $g\in G,$ gdzie $G$ jest podprzestrzenią $H$ tj. $G\subset H$ takiej, by odległość (w sensie obowiązującej w $H$ normy) między $f$ a $g$ była jak najmniejsza. Funkcja aproksymująca może wygładzać daną funkcję (gdy funkcja jest gładka, jest też różniczkowalna).

Aproksymacja funkcji powoduje pojawienie się błędów, zwanych błędami aproksymacji. Dużą zaletą aproksymacji w stosunku do interpolacji jest to, że aby dobrze przybliżać, funkcja aproksymująca nie musi być wielomianem bardzo dużego stopnia (w ogóle nie musi być wielomianem). Przybliżenie w tym wypadku rozumiane jest jako minimalizacja pewnej funkcji błędu. Prawdopodobnie najpopularniejszą miarą tego błędu jest średni błąd kwadratowy, ale możliwe są również inne funkcje błędu, jak choćby błąd średni.

Istnieje wiele metod aproksymacyjnych. Jednymi z najbardziej popularnych są: aproksymacja średniokwadratową i aproksymacja jednostajna oraz aproksymacja liniowa, gdzie funkcją bazową jest funkcja liniowa.

Metody numeryczne - Paweł Wasiak

Wikipedia

czwartek, 28 listopada 2013

Metoda Simpsona

Aproksymacja

Zadanie najlepszej aproksymacji

Zadanie najlepszej aproksymacji w przestrzeniach unitarnych