Schemat Hornera

      Schemat Hornera powiązany z nazwiskiem Hornera - brytyjskiego matematyka żyjącego na przełowmie XVIII i XIX wieku. Schemat Hornera to sposób obliczania wartości wielomianu dla danej wartości argumentu wykorzystujący minimalną liczbę mnożeń. Jest to również algorytm dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian x - c.

Schemat Hornera pozwala na wyznaczenie ilorazu Q(x) z dzielenia wielomianu
W(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₂x² + a₁x + a₀     przez dwumian x - c.

---

Podzielmy przez dwumian x - 5 wielomian W(x) = x³ + x² - 10x + 8

Wykonując dzielenie za pomocą schematu Hornera tworzymy tabelkę, gdzie w górnym wierszu schematu wypisujemy współczynniki dzielnej, tzn. wielomianu x³ + x² - 10x + 8.

	1	+1	-10	+8
+5	1	+6	+20	(+108)

W dolnym wierszu w pierwszej kolumnie zapisujemy liczbę odjętą od x w dzielniku. Pozostałe wartości to współczynniki ilorazu x² + 6x + 20 oraz reszta (+108).

Wiersz dolny otrzymujemy z górnego w następujący sposób:
- pierwszy współczynnik wiersza dolnego równy jest pierwszemu współczynnikowi wiersza górnego tzn. liczbie 1,

- drugi współczynnik wiersza dolnego otrzymujemy, mnożąc poprzedni współczynnik tego wiersza, tzn. 1 przez 5 i dodając do drugiego współczynnika wiersza górnego, tzn. do +1
1 · (+5) + (+1) = +6 ,

- trzeci współczynnik wiersza dolnego otrzymujemy, mnożąc poprzedni współczynnik tego wiersza, tzn. +6 przez +5 i dodając do trzeciego współczynnika wiersza górnego, tzn. -10
(+6) · (+5) + (-10) = +20 ,

- podobnie mamy (+20) · (+5) + (+8) = +108,

Ostatecznie możemy zapisać:
(x³ + x² - 10x + 8) : (x - 5) = x² + 6x + 20   reszta +108.

Film prezentujący zastosowanie schematu Hornera: